住みにくき世から、住みにくき煩いを引き抜いて

　前項で草枕のこの一節を引いたけれど、よく考えてみると、これは、むしろ、乗算に交換則が成り立つという性質を読み取った先に開ける世界だなと思う。六つでひとまとまりのものが四つと考えるのは、数学を意味論で考えるという、純粋数学者からすれば「邪道」と言われることなんだろうなと思う。私にとって数学がわかるというのは、どこまでも意味論的な理解がついてまわる（その先の抽象的な世界がちらりと見えたときには、それはそれでうれしいのだけれど）。

人の世を作ったものは神でもなければ鬼でもない。やはり向う三軒両隣りにちらちらするただの人である。ただの人が作った人の世が住みにくいからとて、越す国はあるまい。あれば人でなしの国へ行くばかりだ。人でなしの国は人の世よりもなお住みにくかろう。（『草枕』第一節 ）

前にも引いたことがあるところだけれど、これは煩いを引き抜く前の世界だ。高度な数学は、そこから煩い（意味論など）を引き抜いて、美しい詩や画を作る。

　騒ぎは「サイエンティフィク・アメリカン」のブログ（http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/teaching-the-controversy-is-5-3-five-3s-or-three-5s/）にも出てきて、こちらは数学者が数学者的に5+5+5でも、3+3+3+3+3でもいい、4行6列でも、6行4列でもかまわないという方に寄った（というより、区別しなければいけないと言っている方の論拠があやしいという）立場を述べていた。数学者による数学の世界から見ればそうだろうなとは思う。私にとっておもしろかった（ありがたかった）のは、その中で、4行6列と6行4列は同じであることを、幼いエレンバーグも見て取ったという取り上げ方で、エレンバーグの本にも言及されていたところ（本では8×6 = 6×8）。

　でもだからといって、そんな子どもでもわかることなんだから、4×6と6×4は同じでいいというふうにはならないと思う（上記の筆者も単純にそう言っているわけではない）。エレンバーグはその関係を、かけ算の仕組みを自分で読み取って発見しているのであって、最初からそう習っているからそれでいいと思ったわけではない。4×6 = 6×4というのは、4+6 = 6+4ほど自明ではなく*、違うことを言っているようなのに、やはり計算としては等しいと言ってかまわないということを発見している。あえて言うなら、「意味論的な違い」と「抽象的な計算法則として一致すること」をそれぞれに認識し、両方を納得したのだと思う。それは私の算数体験とも合っていて、私はこの話にはそういう方向から共感した（私の場合、残念ながら自分で発見したわけではなかったけれど、何十年たってもこういうことを考えて喜んでいられるのだから、幸いな経験はしたのだと思う）。

　あれこれ考えたり読んだりしてみて、さらに言うなら、そもそも式を使う段階で、意味論から抜けつつあるということだという考え方もできる（メイザー『数学記号の誕生』という拙訳もよろしく）。単純に答えが合っているからいいではない話で言えば、小学校の算数を、言葉（意味論）寄りで考えるか、式操作（記号論）寄りで考えるかという路線の違いということなのだろう。

　エレンバーグは数学といっても、初歩／高度、浅い／深いの2×2のマトリックスがあって、学校で誰もが教わるのは、初歩／浅いの部分で、そこから進路によって高度／浅いの部分へ進み、プロの数学者は高度／深いの部分を仕事にするというようなことを言っている。で、その「データを正しく……」という著書では、触れられることが少ない「初歩／深い」の部分を取り上げるという。エレンバーグ少年の4×6 = 6×4の発見は、この「初歩／深い」の部分にある話だと思う。とすると、意味論か記号論かは、初歩／深いのところまで行くか、初歩／浅いだけを教えればいいとするかということかもしれない。深いところがわからないからだめとも言えない（だからくだんの先生も、「減点」にとどめていて、それは適切な対応だと思う）。また、身も蓋もないことを言えば、教えたからと言って全員の身につくわけではないのだから（逆に、「浅い」だけでも、できる子は「高度」まで進めるのだから）、細かいことは言わない方が、嫌われないという意味で、お互いハッピーなのだろう。

　それでも、考え方の筋道が理解できていないのなら（理解するために計算もできなければいけないのだけれど）、結果として答えが合っていたとしても、それはまぐれかもしれないという疑念がつきまとう。どっちでもいいよ、合ってるからマルでは、筋道なんか理解しなくてもいいというメッセージにならないか？ その結果、「ありえない」答えが出ても（エレンバーグの本に出て来る「水の重さは-4グラム」）、自分ではそれが間違いだと気づけない、あるいはどこが間違っているか考えられない、数学嫌いの少年少女ができてしまう（間違うことよりこの点の方が重大）……それはやっぱりまずいのではないかと思う。数学は先のマトリックスのどこにあろうと、考え方の筋道のことだ。高度になるとは、前提を明らかにして筋道を正しくすれば、こんなことまでできるということだが、土台は筋道。

　そういうことを「減点」という形で身につけさせることができるかどうかという方法の問題（それもまた「住みにくき煩い」）も生じるが、願わくば、教える側も、そういう意識をもって教えてほしい。「正解」がこうだと言われているからそれを教えるというのでは、「どっちだっていいじゃん」と変わらない。正直、その点については、いささかの懸念なしとはしない。まして、このことだけをちゃんとすれば、すべてうまく行くという話でもない。生徒も教師も親もぜんぶひっくるめて、人々の頭の中を変えるレベルの話になってしまう（下手をすると、みんなの考える様式を「正解」にそろえて同じにするという話にもなりかねない）。一連の侃々諤々は、まさしくそこが難しいということの表れでもある……くだんの先生はひどい先生ではないし、それを教えることがひどい教育だとも思わない。でも、詩や画はこの世の外にあればこそ美しく、それは誰にもわかることではないのだから（決してどうでもいいことだからではない）、この世の外のことを理解しないからといって減点はできないということなのか知らん。それは現実として受け入れざるをえないのかもしれないが……とかくに人の世は住みにくい。

* 足し算のことまで考えると、言葉の上ではまたさらにややこしいことになるだろうが、ここでは単純に「4と6」は「6と4」と同じと言っていいが、「4の6倍」と「6の4倍」は、この水準で違うと言っておく。さらに進めば、「4の3乗」は「3の4乗」とは違うという、逆にわかりやすい（でも数学が苦手な人はよく混同する）話になる。かけ算は明らかに同じとも明らかに違うとも言えない境目にあるということらしい。